Scaling - 정의, 종류, 방법, 예시 등
Scaling을 하는 이유
회로를 디자인 및 분석할 때 R, L, C 값으로 1Ω, 1H, 1F를 쓰면 간편하다.
이 값들이 현실적이지 않기는 하지만, 계산을 단순화하는 데에 큰 도움이 된다.
단순화된 계산을 한 후, 이 간편한 값들을 현실적인 값들로 변환해주어야하는데, 이것이 scaling이다.
즉, scaling이란 계산을 간편히 하기 위해 잡은 값(1)을 현실적인 값으로 변환해주는 과정이다.
참고로, scaling은 passive filter, active filter 둘 다에서 사용한다.
Scaling의 종류
Scaling에는 2가지 종류가 있다: 1. Magnitude, 2. Frequency.
1. Magnitude
(방법) 주어진 주파수에서의 임피던스에 scale factor k_m을 곱한다.
따라서 모든 R, L은 k_m을 곱하고, 모든 C는 1/k_m을 곱한다.
(이때, k_m은 양수 & 실수이고, k_m 1보다 작거나 크다.)
R'=k_m*R
L'=k_m*L
C'=(1/k_m)*R
(이 때, '가 붙은 것이 scale된 값이고, '가 안 붙은 것이 원래의(initial) 값이다.)
2. Frequency
(방법)
새로운 주파수에서 각 요소의 임피던스가 원래 주파수에서의 임피던스와 동일하게 되도록 바꿔준다.
정리하자면, R의 값들은 주파수에서 independent하기 때문에 R값은 변하지 않는다.
L, C 값들은 1/k_f를 곱해준다. (이 때, k_f는 frequency scale factor이다. k_f은 양수 & 실수이고, k_f 1보다 작거나 크다.)
R'=R
L'=L/k_f
C'=C/k_f
(이 때, '가 붙은 것이 scale된 값이고, '가 안 붙은 것이 원래의(initial) 값이다.)
회로에서 magnitude scaling과 frequency scaling을 동시에 할 수 있다.
동시에 할 시 다음과 같은 식을 사용한다.
Op Amp Filter에서 Scaling하는 방법/과정
1.
LPF/HPF일 때 -> cutoff freq.를 ω_c=1 rad/s 로 잡는다.
Bandpass/Bandreject일 때 -> center freq.를 ω_o=1 rad/s 로 잡는다.
2.
1F인 C를 중심으로 R값들을 계산한다.
이 때, 원하는 passband gain과 1 rad/s cutoff/center freq.가 나오게 하는 R값들을 구해야한다.
3.
Scaling을 이용하여 현실적인 값들을 구한다.
좀 더 정리하자면, 처음에는 모든 parameter들이 1인 상태에서 시작한다.
그 중 C를 중심으로 원하는 passband gain과 1 rad/s cutoff/center freq.를 구하기 위해 필요한 R값들을 구한다.
즉 요소들의 비나 관계를 구한다고 생각하면 될 것 같다.
그 후 scaling을 통해 프로토타입 필터를 실제 필터로 변환한다. 그래서 원하는 cutoff/center freq.가 나오게 계산한다.
예시
1. Series RLC circuit에서의 Scaling
이 회로에서 center frequency가 아래와 같고,
bandwidth가 R/L=1 rad/s, quality factor=1이고 2μF인 C를 사용한다고 할 때,
scaling을 이용해서 동일한 quality factor를 가지고 center frequency는 500Hz인 새로운 R, L 값을 구하라.
우선 '가 붙은 값이 scale된 값이라 할 때, 위 회로에서 R=1Ω, L=1H, C=1F임을 알 수 있다.
그리고 문제에서 주어진 값으로 center frequency ω_o=1, C'=2μF임을 알 수 있다.
1) Center freq.가 1rad/s에서 500Hz가 되게 하는 freq. scale factor k_f를 계산한다.
(우리가 원하는 center freq.가 500Hz이기 때문)
단위가 다르기 때문에 단위 변환을 위해 2π를 곱해준다.
2) 위의 동시에 scale할 때 사용하는 식들을 이용하여 C가 2μF가 되게 할 k_m을 구한다.
3) 위의 동시에 scale할 때 사용하는 식들을 다시 이용하여 이제 magnitude & frequency scale된 R', L'값을 구한다.
4) 따라서 center frequency와 bandwidth는 다음과 같이 나온다.
그러므로 quality factor은 여전히 1이다.
2. 프로토타입 Low-Pass Op Amp Filter에서의 Scaling
Gain=5, cutoff freq.=1000Hz, feedback C=0.01μF인 LPF의 R값들을 구하고, transfer function의 magnitude bode plot을 그려라.
1) Cutoff freq.가 1000Hz가 되도록 하는 freq. scale factor k_f를 구한다.
이번에도 단위가 다르기 때문에 단위 변환을 위해 2π를 곱해준다.
2) C가 0.01μF가 되게 하는 k_m을 구한다.
3) Magnitude & frequency scale된 R'_1, R_2'값을 구한다.
4) 원하는 passband gain을 얻기 위해 R'값들을 조금 조정해야한다.
K=R_2/R_1이므로 R_1'이나 R_2' 둘 중 하나를 조정해야한다.
하지만 R_2'를 바꾸면 cutoff freq.가 바뀌어버리므로 R_1'을 바꿔야한다. (참고로, cutoff freq.는 ω_c=1/(R_2*C) 이다.)
따라서 R_1=3183.1Ω, R_2=15915.5Ω, C=0.001μF이고, transfer function은 다음과 같다.
Bode Plot을 그리면 다음과 같이 나온다.
